Toán trung bình cộng và ứng dụng - Phạm Huy Hoạt

Toán trung bình cộng và ứng dụng 
 I.- Giới thiêu: 
Những bài toán về trung bình cộng (TBC) được đưa vào các bài tập từ dễ đến khó cho HS tiểu học, THCS; Ở những lớp cao hơn, Trung bình công và Trung bình nhân, Trung vị...còn có nhiều ứng dụng hơn nữa . 
Trong thực tế, trung bình cộng có ý nghĩa nhiều mặt, ít nhất là để đánh gía, so sánh. Chẳng hạn trong Nhà trường - Điểm trung bình một hay nhiều môn học; Trong kinh tế xã hội - thu nhập bình quân đầu người của một quốc gia hay một tỉnh ...
Khái niệm trung bình cộng ở tiểu học là lấy tổng của tất cả n số hạng ( a1; a2; a3; ... ; an) rồi chia cho số các số hạng (n) vừa lấy tổng. 
 TBC = [a1 + a2 + a3 + ... ..+ an ] ; n
 Với trình độ cao hơn, người ta dùng ký hiệu hoặc là TBC với công thức
 điều kiện 
Tài liệu này sưu tầm 8 bài toán có ứng dụng TBC
II .- Các bài toán mẫu:
Bài 1. Trung bình cộng của 3 số a, b, c là 10. Biết trung bình cộng của số thứ nhất với số thứ hai (a, b) bằng 8, hãy tính số thứ ba ( c = ? ). 
Giải.: Tổng 3 số ( a+b+c) là 3 x 10 = 30.
 Tổng số thứ nhất với số thứ hai (a+b) là 2 x 8 = 16.
 Vậy Số thứ ba (c) là 30 - 16 = 14. (ĐS)
Bài 2. Trung bình cộng của n số là 10. Biết một trong các số là 14 và nếu bỏ số 14 thì trung bình cộng của các số còn lại bằng 8, hãy tính n. 
Giải.: Tổng n số là 10n.
 Tổng của n - 1 số còn lại là 8 (n - 1).
 Hiệu của hai tổng là 10n - 8 (n - 1) = 2n + 8.
 Hai lần số n là 14 - 8 = 6.
 Vậy n = 6 : 2 = 3. (ĐS)
Nhận xét. Bài 1 và Bài 2 là hai bài toán ngược nhau.
Bài 3. Trong một cuộc thi, số điểm của HS thứ nhất là 40, số điểm của HS thứ hai là 50, số điểm của HS thứ ba hơn trung bình cộng của ba HS là 10. Hỏi số điểm của HS thứ ba là bao nhiêu ?.
Giải.: 3 lần số điểm của HS thứ ba hơn tổng số điểm của cả 3 HS là 10 x 3 = 30.
 2 lần số điểm của HS thứ ba hơn tổng số điểm của 2 HS còn lại là 30.
 2 lần số điểm của HS thứ ba là: 30 + 40 + 50 = 120.
 Vậy Số điểm của HS thứ ba là 120 : 2 = 60. (ĐS)
Bài 4. Trung bình cộng của 10 số là 50. Nếu lấy số thứ nhất cộng 1, số thứ hai cộng 2,... , số thứ mười cộng 10 thì trung bình cộng của 10 số mới bằng bao nhiêu?
Giải.: Tổng tăng thêm là 1 + 2 + ... + 10 = 55.
 Trung bình cộng tăng thêm là 55 : 10 = 5,5.
 Trung bình cộng mới là 50 + 5,5 = 55,5. (ĐS)
Bài 5. Cho 6 số 2, 4, 6, 8, 10, 12. Biết trong đó có 4 số có trung bình cộng bằng 8, hãy tính trung bình cộng của hai số còn lại.
Giải.: Tổng 6 số là 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42.
 Tổng 4 số là 4 x 8 = 32.
 Tổng 2 số còn lại là 42 - 32 = 10.
 Trung bình cộng của hai số còn lại là 10 : 2 = 5. (ĐS)
Bài 6. Xét các số có 4 chữ số mà các chữ số là 1, 2 hoặc 3. Hỏi
 a) có bao nhiêu số như trên?
 b) Tính trung bình cộng của các số đó.
Giải.: 
 a) Vì mỗi chữ số có 3 cách chọn nên số những số thỏa mãn là 3 x 3 x 3 x 3 = 81.
 b) Trong 81 số có 1 số là 2222, 80 số còn lại chia làm 40 cặp, mỗi cặp có tổng là 4444 (chẳng hạn 1231 với 3213), trung bình cộng của mỗi cặp này cũng là 2222.
 Vậy trung bình cộng của 81 số là 2222. (ĐS)
 III.- Bài tập thực hành.
Đề : Khi trả bài kiểm tra toán của một lớp học thầy giáo cho biết: trong lớp có 1 bạn được 1 điểm, 3 bạn được 2 điểm, 5 bạn được 3 điểm, 4 bạn được 8 điểm, 6 bạn được 9 điểm, 3 bạn được 10 điểm, các bạn còn lại được điểm từ 4 đến 7. 
Biết điểm trung bình của những bạn có điểm lớn hơn 3 là 7, còn điểm trung bình của những bạn có điểm nhỏ hơn 8 là 4. Hỏi có bao nhiêu bạn tham gia thi?
 ST & Biên soạn bổ sung từ tài liệu của Vũ Kim Thủy - Hoàng Trọng Hảo