Các bài toán về số và chữ số

Các bài toán về số và chữ số
Ví dụ 1: Tìm một số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 8 lần tổng các chữ số của nó.
 Giải:
 Gọi số cần tìm là ab, trong đó a là các chữ số từ 1 đến 9, b là các chữ số từ 0 đến 9. Theo đề bài ta có:
 ab – 8 x (a + b) 
10 x a + b – 8 x a + 8 x b
10 x a – 8 x a – 8 x b – b
2 x a – 7 x b 
Từ đó ta chọn được a = 7 và b =2.
 Thử lại: 72 = 8 x (7+2) (đúng)
 Ví dụ 2:
 Cần đánh số trang của một cuốn sách bằng các số từ 1 đến 256. Hỏi phải viết tất cả bao nhiêu chữ số?
 Giải:
Từ 1 đến 9 có 9 số, gồm 9 chữ số
Từ 10 đến 99 có 99 –10 + 1 = 90 số, gồm 90 x 2 = 180 (chữ số).
Từ 100 đến 256 có 256 –100 + 1 = 157 số, gồm 157 x 3 = 471 (chữ số)
 Số các chữ số phải viết là: 9 + 180 + 471 = 660 (chữ số)
 Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số được viết bởi các chữ số 1,2,4,6,8,9,biết rằng mỗi chữ số chỉ có thể có mặt một lần.
 Giải:
 Để chọn chữ số hàng trăm thì có 6 cách chọn. Sau khi chọn chữ số hàng trămxong, thì ta còn lại 5 số, do đó có 5 cách chọn chữ số hàng chục. Sau khi chọn chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục thì ta còn lại 4 số, do đó có 4 cách chọn chữ số hàngđơn vị.
 Như vậy, số các số được lập thành là 6 x 5 x 4 = 120 (số)
 Ví dụ 3:
 Cho số tự nhiên có 3 chữ số. Người ta viết thêm số 90 vào bên trái số đã chođể được số mới có 5 chữ số. Lấy số này chia cho số đã cho thì được thương là 721 vàkhông còn dư. Tìm số đã cho.
 Giải:
Gọi số cần tìm là abc với a, b c là các chữ số từ 0 đến 9 và a khác 0.
Số sau khi viết thêm là 90 abc
 Theo đề bài ta có:
 90 abc – 721 abc
  90 000 + abc – 721 abc
 90 000 – 720 x abc
 Abc – 90 000 : 720 - 125
Thử lại: 90125 : 125 = 721.
 Chú ý: Bài này có thể giải bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng. Ta có nhận xét: Khiviết thêm 90 vào bên trái số có 3 chữ số thì số mới hơn số đã cho bao nhiêu đơn vị?
 Ví dụ 4:Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 1 vào bêntrái số đó thì ta được một số gấp 5 lần số đã cho.
 Giải:
Gọi số cần tìm là ab, viết thêm chữ số 1 vào bên trái số đó ta được 1ab.
Theo đề bài ta có:
1ab = 5 x ab
100 + ab = 5 x ab
100 = 5 x ab - ab
100 = 4 x ab
ab = 100 : 4 = 25
Nhận xét: Bài toán này ta có thể giải bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng.
 Ví dụ 5:Tìm chữ số tận cùng của hiệu
1 x 2 x3 x  x 48 x 49 – 1 x 3 x  x 47 x 49
 Giải:
 Tích thứ nhất (số bị trừ) có 1thừa số là 5 và có thừa số chẵn nên có chữ số tận cùng là 0. Tích thứ hai (số trừ) gồm các thừa số là các số lẻ trong đó có số 5 nên chữsố tận cùng là 5. Vậy hiệu có chữ số tận cùng là 5.Dùng sơ đồ diện tích để giải bài toán có ba đại lượng
Dùng sơ đồ diện tích chúng ta sẽ giải nhanh các bài toán có nội dung đề cập đến ba đại lượng vì đã đưa về bài toán trực quan là bài toán diện tích hình chữ nhật.
Sơ đồ diện tích được dùng để giải các bài toán có nội dung đề cập đến ba đại lượng. Giá trị của một trong ba đại lượng bằng tích các giá trị của hai đại lượng kia. Dùng sơ đồ diện tích chúng ta sẽ giải nhanh các bài toán đó vì đã đưa về bài toán trực quan là bài toán diện tích hình chữ nhật. Sau đây là một số thí dụ:
Ví dụ 1:
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 30km/giờ, sau đó đi từ B quay về A với vận tốc 40km/giờ. Thời gian đi từ B về A ít hơn thời gian đi từ A đến B là 40 phút. Tính độ dài quãng đường AB.
Phân tích: Vì quãng đường AB (s = v x t) không đổi, nên ta có thể xem vận tốc (v) là chiều dài của một hình chữ nhật và thời gian (t) là chiều rộng của hình chữ nhật đó. Vẽ sơ đồ:
Giải: Ta có 40 phút = 2/3 giờ
    Nếu ô tô đi từ B về A với vận tốc 30 km/giờ thì sau khoảng thời gian dự định đi từ B về A, ô tô còn cách A một quãng đường là:
    30 x 2/3 = 20 (km)
    Sở dĩ có khoảng cách này là vì vận tốc xe giảm đi:
    40 – 30 = 10 (km/h)
    Thời gian ôtô dự định đi từ B về A là:
    20 : 10 = 2 (giờ)
    Quãng đường AB dài là:
    40 x 2 = 80 (km)
    Đáp số: 80 km
    Chú ý là s1 = s2
Ví dụ 2:
Bạn Toán đưa tiền dự định mua một số quyển vở loại 2500 đồng/ quyển. Nhưng đến cửa hàng chỉ còn vở loại 3000 đồng/quyển. Toán cứ băn khoăn có nên mua loại vở này không? Vì nếu mua thì số vở dự định bị hụt mất hai quyển. Tính số tiền bạn Toán mang đi?
    Phân tích: Vì số tiền bạn Toán mang đi không đổi, nên ta có thể xem giá tiền của mỗi loại vở là chiều dài của một hình chữ nhật và số quyển vở là chiều rộng của hình chữ nhật đó. Vẽ sơ đồ:
Giải: Nếu bạn Toán mua số vở loại 2500 đồng/quyển bằng số vở định mua loại 3000 đồng/quyển thì số tiền còn thừa là:
    2 x 2500 = 5000 (đồng)
    Sở dĩ có số tiền thừa này là vì giá vở đã giảm:
    3000 – 2500 = 500 (đồng/quyển)
    Vậy số vở bạn Toán định mua loại 3000 đồng/quyển là:
    5000 : 500 = 10 (quyển vở)
    Số tiền bạn Toán mang đi là:
    3000 x 10 = 30000(đồng)
    Đáp số: 30000 đồng
Bài toán 1 : Cho 2 số A và B có 5 chữ số và A/B = 1/2
Tìm giá trị lớn nhất của A + B.
Đáp số : 145593.
Có thể nói bài toán trên là một dạng lạ so với các dạng bài mà ta thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi ở Việt Nam. Là một người gắn bó với toán tiểu học nhiều năm, tôi cảm thấy hứng thú với bài toán trên và đã tiến hành giải bài toán.
Lời giải : A + B đạt giá trị lớn nhất khi B đạt giá trị lớn nhất. Vì B = A x 2, vậy B là số chẵn lớn nhất có 5 chữ số.
Do đó B = 99998, suy ra A = 99998 : 2 = 49999.
Vậy A + B lớn nhất là : 99998 + 49999 = 149998.
Rõ ràng A, B đảm bảo điều kiện của bài toán, nhưng kết quả 149998 không đúng với đáp số đã nêu là 145593.
“Chẳng lẽ đáp số sai ?” – Đó là ý nghĩ vụt lóe lên trong óc tôi. Nhưng lại có ý nghĩ khác đến với tôi, nếu đáp số sai thì bài toán lại quá tầm thường. Vì vậy tôi cho rằng đề bài có điều gì đó chưa ổn (có thể do lỗi in ấn). Sau khi suy nghĩ và cân nhắc, tôi đã sửa lại bài toán như sau :
Bài toán 2 : Cho A, B là hai số có 5 chữ số ; mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và các chữ số của A và B cũng khác nhau. Tìm A, B để và A + B có giá trị lớn nhất.
Sau đó tôi đã tiến hành giải bài toán trên và đã thu được hai kết quả :
1) A = 48531 ; B = 48531 x 2 = 97062 và A + B = 48531 + 97062 = 145593 là đáp số đã nêu trong bài toán.
2) A = 48651 ; B = 48651 x 2 = 97302 và A + B = 48651 + 97302 = 145953.
Như vậy kết quả này vẫn chưa đúng với đáp số đã nêu.
Bài toán 1 : Hiện nay, tuổi bố gấp 7 lần tuổi con. Sau 10 năm nữa, tuổi bố gấp 3 lần tuổi con. Tính tuổi mỗi người hiện nay.
Phân tích : Bài toán yêu cầu tính số tuổi của hai bố con hiện nay nhưng chỉ cho biết :
– Tỉ số tuổi của hai bố con ở hai thời điểm khác nhau.
– Khoảng cách thời gian giữa hai thời điểm đó.
Nhưng ta có thể dễ dàng phát hiện ra một điều kiện nữa của bài toán, đó là “hiệu số tuổi của hai bố con là không đổi”. Từ đó ta có thể giải được bài toán như sau.
Giải : Hiện nay, nếu tuổi con là 1 phần thì tuổi bố là 7 phần như thế. Ta có sơ đồ thứ nhất :
?
Tuổi con  :  |——-|                         ?
Tuổi bố :     |——-|——-|——-|——-|——-|——-|——-|
Hiệu số tuổi của hai bố con hiện nay là : 7 – 1 = 6 (phần)
Hiện nay tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai bố con là 1 : 6 = 1/6
Sau 10 năm nữa, nếu tuổi con là 1 phần thì tuổi bố là 3 phần như thế (mỗi phần bây giờ có giá trị khác mỗi phần ở trên). Ta có sơ đồ thứ hai :
?
Tuổi con  :  |——-|       ?
Tuổi bố :     |——-|——-|——-|
Sau 10 năm hiệu số tuổi của hai bố con là : 3 – 1 = 2 (phần)
Sau 10 năm tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai bố con là 1 : 2 = 1/2
Vì hiệu số tuổi của hai bố con không bao giờ thay đổi nên ta có thể so sánh về tỉ số giữa tuổi con hiện nay và tuổi con sau 10 năm nữa.
– Tuổi con hiện nay bằng 1/6 hiệu số tuổi của hai bố con.
– Tuổi con sau 10 năm nữa bằng 1/2 hay 3/6 hiệu số tuổi của hai bố con.
Vậy tuổi con sau 10 năm nữa gấp 3 lần tuổi con hiện nay. Ta có sơ đồ tuổi con ở hai thời điểm :
?
Hiện nay  :         |——-|      10
Sau 10 năm:      |——-|——-|——-|
Tuổi con hiện nay là : 10 : 2 = 5 (tuổi)
Tuổi bố hiện nay là : 5 x 7 = 35 (tuổi)
Đáp số : Con : 5 tuổi ; Bố : 35 tuổi
Bài toán 2 : Trước đây 4 năm tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Sau 4 năm nữa, tỉ số giữa tuổi con và tuổi mẹ là 3/8 Tính tuổi mỗi người hiện nay.
Phân tích : Bài toán này đặt ra ba thời điểm khác nhau (Trước đây 4 năm, hiện nay và sau đây 4 năm). Nhưng chúng ta chỉ cần khai thác bài toán ở hai thời điểm : Trước đây 4 năm và sau đây 4 năm nữa. Ta phải tính được khoảng cách thời gian giữa hai thời điểm này. Bài toán này có thể giải tương tự như bài toán 1.
Giải : Trước đây 4 năm nếu tuổi con là 1 phần thì tuổi mẹ là 6 phần như thế.
Hiệu số tuổi của hai mẹ con là : 6 – 1 = 5 (phần)
Vậy tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai mẹ con là 1 : 5 = 1/5
Sau 4 năm nữa, nếu tuổi con được chia thành 3 phần bằng nhau thì tuổi mẹ sẽ có 8 phần như thế.
Hiệu số tuổi của hai mẹ con là : 8 – 3 = 5 (phần)
Vậy sau 4 năm nữa tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai mẹ con là 3 : 5 = 3/5
Vì hiệu số tuổi của hai mẹ con là không thay đổi nên ta có thể so sánh tuổi con trước đây 4 năm và tuổi con sau đây 4 năm. Ta có tuổi con sau 4 năm nữa gấp 3 lần tuổi con trước đây 4 năm và tuổi con sau 4 năm nữa hơn tuổi con trước đây 4 năm là : 4 + 4 = 8 (tuổi).
Ta có sơ đồ tuổi con ở hai thời điểm :
?
Trước đây 4 năm :        |——-|      8
Sau đây 4 năm:             |——-|——-|——-|
Tuổi con trước đây 4 năm là : 8 : (3 – 1) = 4 (tuổi)
Tuổi mẹ trước đây 4 năm là : 4 x 6 = 24 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là : 4 + 4 = 8 (tuổi)
Tuổi mẹ hiện nay là : 24 + 4 = 28 (tuổi)
Đáp số : Con : 8 tuổi ; Mẹ : 28 tuổi