Bài tập Toán 5 dành cho học sinh giỏi

2. Một đội xe có 15 ô tô gồm ba loại : loại 4 bánh chở được 5 tấn , loại 6 bánh 
chở được 8 tấn và loại 6 bánh chở được 10 tấn .Đội xe đó có thể chở được 
117 tấn hàng cùng một lúc .Hỏi mỗi loại ô tô có mấy mấy chiếc, biết rằng đếm 
được tất cả 84 bánh xe.
ôGiải
Giả sử 15 xe đều là xe 6 bánh. Khi đó tổng số bánh xe là:
 6 x 15 = 90 (bánh xe)
Tổng số bánh xe dôi ra là:
 90 – 84 = 6 (bánh xe)
Tổng số bánh xe dôi ra vì mỗi chiếc xe 4 bánh được tính thêm.
 6 – 4 = 2 (bánh xe)
Số xe 4 bánh là:
 6 : 2 = 3 (chiếc)
Số xe 6 bánh là:
 15 – 3 = 12 (chiếc)
Số hàng 3 xe 4 bánh chở là:
 5 x 3 = 15 (tấn)
Số hàng 12 xe 6 bánh chở là:
 117 – 15 = 102 (tấn)
Giả sử 12 xe đều chở đươc tấn hàng. Khi đó, tổng số tấn hàng chở được là:
 10 x 12 = 120 (tấn)
Số tấn hàng dôi ra là:
 120 – 102 = 18 (tấn)
Số tấn hàng dôi ra là do mỗi xe 8 tấn chở thêm:
 10 – 8 = 2 (tấn)
Số xe chở được 8 tấn là:
 18 : 2 = 9 (chiếc)
Số xe chở được 10 tấn là:
 12 – 9 = 3 (chiếc)
 Đáp số: 3 chiếc 4 bánh.
 9 chiếc xe 6 bánh loại 8 tấn.
 3 chiếc xe 6 bánh loại 10 tấn.
3. Tìm số có ba chữ số, biết rằng số đó cộng với tổng các chữ 
số của nó thì bằng 555.
ôGiải:
Gọi số cần tìm là abc (a # 0 ; a,b,c < 10)
Theo đề bài ta có: abc + a + b + c = 555
 – abc < 555 (1) , do đó < 5 và b < 5 (*)
 – Trong trường hợp nầy tổng a + b + c đạt giá trị lớn nhất
 là: 5 + 4 + 9 = 18 Nên abc đạt giá trị nhỏ nhất là: 555 – 18 = 537
 Do đó abc > 536 (2)
Từ (1) và (2) ta có : 536 < abc< 555
 Vậy a = 5. Khi đó
 5bc + 5 + b + c = 555
 500 + bc + 5 +b + c = 555
 505 + bb + 2c = 555
 bb + 2c = 50
Nếu c đạt giá trị lớn nhất là 9 thì bb đạt giá trị nhỏ nhất là:
 50 – 2 x 9 = 32, do đó b > 3
Từ (*) và (**) ta có: 3 < b < 5
 Vậy b = 3 hoặc 4
Vì 2 c chẵn và 50 chẵn nên b chẵn . Do đó b = 4. Khi đó:
 44 + 2c = 50
 2c + 6
 c = 3
Vậy số cần tìm là 543.
 (Thử lại : 543 + 5 + 4 + 3 = 555 (đúng) 
5. Tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AB = 30 cm, AC = 40 cm, 
BC = 50 cm .Một đường thẳng song song với cạnh BC và cách 
cạnh BC một đoạn bằng 3 cm, cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh Ac tại N.	
 a. Tứ giác MNCB là hình gì ? 
 b. Tìm diện tích tứ giác MNCB.
 A
 30 cm 40cm
M N
ôGiải: 
 M
 B C 
 50cm H 
 a. Vì MN song song với BC nên tứ giác MNCB là hình thang.
 b. Ta có : AB x AC 30 x 40
 SABC = = = 600 (cm2)
 2 2
 BC x NH 50 x 3 
 SMBC = SNBC = = = 75 (cm2)
 2 2
Hai tam giác MBC và ABC có chung ch iều cao hạ từ C , nên :
 MB SMBC 75 1
 = = = 
 AB SABC 600 8
 1 1
 Vậy MB = AB x = 30 x = 3, 75 (cm)
 8 8
 Suy ra AM = AB – MB = 30 – 3 ,75 = 26, 25 (cm)
Tương tự ta có :
 NC SNBC 75 1
 = = =
 AC SABC 600 8
 1 1
 Hay NC = AC x = 40 x = 5 (cm)
 8 8
 Suy ra AN = AC – NC = 40 – 5 = 35 (cm)
 AM x AN 26, 25 x 35
Vậy SNBC = = = 459, 375 (cm2)
 2 2
 Suy ra SMNCB = 600 – 459 , 375 = 140, 625 (cm2)
 Đáp số : 140, 625 cm2
6. Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD = 12 cm, đáy nhỏ BC = 3 cm, 
chiều cao là 6 cm. Hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại O . Tính diện
 tích các tam giác BAO ,COD , OAD ,và BOC.
 O
 H 
 K 
 12cm
ôGiải: B 3 cm C
 HH 
 6cm
 A D
 12 x 6 
Ta có: SBAD = = 36 (cm2)
 2
 3 x 6
 SBDC = SBAC = = 9 (cm2)
 2
 Vậy SBAD = 4. SBDC (1)
 Hai tam giác BAD và BDC có chung đáy BD nên từ (1) ta có chiều 
cao AH = 4. CK (2)
Hai tam giác BAO và BOC có chung đáy BO nên từ (2) ta có:
 SBAO = 4. SBOC
Mặt khác: 3 x 6
 SBAO + SBOC = SBAC = = 9 (cm2)
 2
 Ta có sơ đồ : 
 Diện tích tam giác BOC : 9 (cm2)
 Diện tích tam giác BAO : 
 Tổng số phần bằng nhau:
 4 + 1 = 5 (phần)
 Diện tích tam giác BOC là:
 9 : 5 = 1, 8 (cm2) 
 Diện tích tam giác BAO là: 
 1,8 x4 = 7, 2 (cm2) 
Từ đây suy ra : SCOD = SBDC – SBOC = SBAC – SBOC = 9 – 1,8 = 7, 2 (cm2)
Và SOAD = SBAD – SBAO = 36 – 7, 2 = 28, 8 (cm2)
 Đáp số : SBAO = SCOD = 7,2 cm2
 SOAD = 28 ,8 cm2
 SBOC = 1, 8 cm2
8. Hiện nay tuổi bố cộng tuổi con bằng 64 tuổi ,tuổi con bằng 1/3 tuổi bố. Hỏi :
 a. Mấy năm trước tuổi bố gấp 9 lần tuổi tuổi con ?
 b . Mấy năm nữa tuổi bố gấp 5 lần tuổi con ?
ôGiải: 
– Hiện nay ta có sơ đồ:
 Tuổi bố: 64 tuổi
 Tuổi con: 
 Tổng số phần bằng nhau:
 1 + 7 = 8 (phần)
 Hiện nay tuổi con là:
 64 : 8 = 8 (tuổi)
Hiện nay tuổi bố là:
 8 x 7 = 56 (tuổi)
 Tuổi bố hơn tuổi con là:
 56 – 8 = 48 (tuổi)
 a. Khi tuổi bố gấp 9 lần tuổi con ta có sơ đồ :
 Tuổi bố :
 Tuổi con:
 Hiệu số phần bằng nhau: 48 tuổi
 9 – 1 = 8 (phần)
 Tuổi con lúc đó là:
 48 : 8 = 6 (tuổi)
 Khi tuổi bố gấp 9 lần tuổi con cách nay:
 8 – 6 = 2 ( năm)
 b. Khi tuổi bố gấp 5 lần tuổi con ta có sơ đồ :
 Tuổi bố :
 Tuổi con: 
 Hiệu số phần bằng nhau: 48 tuổi
 5 – 1 = 4 (phần)
 Khi đó tuổi con là:
 48 : 4 = 12 (tuổi)
 Để tuổi bố gấp 5 lần tuổi con cần thêm thời gian là:
 12 – 8 = 4 (năm)
 Đáp số: a. 2 năm
 b. 4 năm
9. Lúc 5 giờ 30 phút ,một người khởi hành từ tỉnh A bằng xe máy với vận 
tốc 40 km/giờ và đến tỉnh B lúc 8giờ 15 phút ,người đó nghỉ lại tỉnh B 30 phút 
rồi quay về tỉnh A với vận tốc cũ. Lúc 7 giờ 45 phút một người khác đi từ 
tỉnh A đến tỉnh B bằng xe đạp với vận tốc 10km/giờ.Hỏi hai người gặp nhau
 lúc mấy giờ và chỗ gặp nhau cách tỉnh B bao nhiêu km?
ôGiải:
 Thời gian người đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B là:
 8 giờ 15 phút – 5 giờ 30 phút = 2 giờ 45 phút = 2, 75 giờ
Quãng đường AB là
 40 x 2, 75 = 110 (km)
 Người đi xe máy rời tỉnh B lúc:
 8 giờ 15 phút + 30 phút = 8 giờ 45 phút
 Thời gian người đi xe đạp đi từ 7 giờ 45 phút đến 8 giờ 45 phút là:
 8 giờ 45 phút – 7 giờ 45 phút = 1 giờ 
 Đến 8 giờ 45 phút người đi xe đạp đã đi được 10 km
Lúc 8 giờ 45 phút hai người cách nhau:
 110 – 10 = 100 (km)
 Thời gian từ 8 giờ 45 phút đến lúc hai người gặp nhau là:
 100 : ( 40 + 10 ) = 2 (giờ)
 Hai người gặp nhau lúc:
 8 giờ 45 phút + 2 giờ = 10 giờ 45 phút
 Chỗ hai người gặp nhau cách tỉnh B là:
 40 x 2 = 80 (km) Đáp số : a. 10 giờ 45 phút.
 b. 80 km.
2. Chứng minh rằng:
 1 1 1 n
 + +  + = , với mọi n > 2
 1 x 2 2 x 3 n x ( n + 1) n + 1
ôGiải
 Với n = 2 ta có:
 1 1 2
 + =
 1 x 2 2 x 3 3
Vậy công thức trên đúng với n = 2.
Giả sử công thức trên đúng với n = k ≥ 2 , tức là:
 1 1 1 n
 + +  + = , với k > 2
 1 x 2 2 x 3 k x ( k + 1) k + 1
Ta có: 1 1 1 
 + +  + 
 1 x 2 2 x 3 (k+1) ( k+2) 
 1 1 1 1
 =[ + +  + ] + 
 1 x 2 2 x 3 k x ( k + 1) (k + 1)(k + 2) 
 k 1 k x (k +2) +1 k + 1 
 = + = = 
 K + 1 (k +1)(k +2) (k + 1) x ( k + 2) k + 2
Vậy công thức trên đúng với n = k + 1
Từ đó suy ra công thức trên đúng với mọi n ≥ 2 
3. Chứng minh tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
ôGiải:
Chúng ta gọi dãy ba số tự nhiên liên tiếp tùy ý là: n , n + 1 , n +2 ; nN .
Đặt tích n ( n + 1)(n + 2) = A(n)3.
Ta xét 3 trường hợp sau:
n = 3 q 1 , q 1N .
Khi đó hiển nhiên có A(n)3
n = q 2 + 1 , q 2N .
Ta có n + 2 = 3 q 2 + 3 = 3 ( q 2 + 1 ). Hay n + 23 .Do đó A(n)3
n = 3 q 3 + 2 , q 3N
Lúc này ta có n + 1 = 3 ( q 3 + 1 ). Hay n + 13 .Do đó A(n)3
Từ các chứng minh trên, chúng ta khẳng định được A(n) 3 ,n N .
4. Chứng minh rằng n N , n 3 + 2n 3
ôGiải:
Ta có n 3 + 2n = (n3 – n) + 3n = n (n2 – 1)+ 3n = n (n – 1)(n + 1)+3n
Khi n =0 thì n3 + 2n 3
Khi n ≠ 0 thì n (n – 1)(n + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp cho nên nó chia hết
cho 3 , còn 3n cũng luôn chia hết cho 3 .
Do đó n3 + 2n3 n N .
6. Cho a = x195y có các chữ số khác nhau. Tìm tất cả những chữ số x , y để thay 
vào ta được số a đồng thời chia hết cho 3 và 4.
ôGiải:
Số a chia hết cho 4 thì 5y chia hết cho 4 . Vậy y = 2 hoặc y = 6
+ Thay y = 2 ta có a =x1952 .Số x1952 chia hết cho 3 nên x = 1 ; 4 hoặc 7 .
Vì a có các chữ số khác nên x = 4 hoặc 7 .Ta được số 41952 và 71952 thỏa mãn 
điều kiện của đề bài
 + Thay y = 6 ta có a =x1956 .Số x1956 chia hết cho 3 nên x = 3 ; 6 hoặc 9 .Vì a 
có các chữ số khác nên x = 3 .Ta được số 31956 thỏa mãn điều kiện của đề bài. 
Vậy các số cần tìm là :41952 ,71952 và 31956.
9. Thay x , y trong số 2004xy bởi chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết 
cho 2, 5 và 9.
ôGiải:
Số 2004xy đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên y = 0 .Thay y = 0 vào số 2004xy ta 
được số 2004x0
Số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó chia hết cho 9
Vậy 2 + 0 + 0 + 4 +x + 0 chia hết cho 9 hay 6 + x chia hết cho 9
Vì 6 chia 9 dư 6 nên x chỉ có thể là 3 .Thay x = 3 vào số 2004x0 ta được số 
200430 thỏa mản đề bài đã cho.
12. Tính nhanh tổng sau:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 + + + + + + + + +
 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
ôGiải 1 1
Nhận xét : = 1 – 
 2 2
 1 1 1
 + = 1 – 
 2 4 4
 1 1 1 1 1 1
 + + = 1 + = 1 – 
 2 4 8 4 8 8
 1 1 1 1 1 1 1
 + + + = 1 – + = 1 
 2 4 8 16 8 16 16
 v.v 
Vậy tổng phải tìm là :
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 + + + + + + + + + 
 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
 1 1023
 = 1 – =
 1024 1024 1023
 Đáp số: 1024 
20. Trong giải vô địch bóng đá thế giới , bảng B có 5 đội thi đấu vòng tròn 
một lượt tính điểm. Trong mỗi trận đấu : đội thắng được 3 điểm ,đội thua 
được 0 điểm ,nếu hòa thì mỗi đội được 1 điểm . Hãy tính xem một đội bóng 
thắng mấy trận , hòa mấy trận , thua mấy trận , nếu :
 a. Đội đó được 7 điểm
 b. Đội đó được 8 điểm
 c. Đội đó được 11 điểm
ôGiải:
 Vì có 5 đội ,nên mỗi đội phải đấu 4 trận
 a) Nếu thắng cả 4 trận thì đội đó được:
 3 x 4 = 12 (điểm)
 Cứ 1 trận thua thì đội đó bị trừ 3 điểm
 Còn 1 trận hòa thì đội đó bị trừ 2 điểm
 Đội đó bị trừ:
 12 – 7 = 5 (điểm)
 Vậy đội đó thua 1 trận và hòa 1 trận .Suy ra đội đó thắng 2 trận.
 b) Đội đó bị trừ :
 12 – 8 = 4 (điểm)
 Vì 2 = 2 + 2 nên đội đó hòa 2 trận và thắng :
 4 – 2 = 2 (trận)
 c) Đội đó chỉ mất:
 12 – 11 = 1 (điểm)
 Điều này không thể xảy ra được.
 Đáp số: a) 2 thắng , 1 hòa , 1 thua
 b) 2 thắng , 2 hòa ; c) Không thể xảy ra đội đó được 11 điểm. 
26. Tính diện tích phần có gạch chéo ở hình vẽ bên . Biết cạnh của hình vuông
 là 4 m , đường kính của hình tròn là 2 m , tâm của hình tròn nằm ở chính giữa
hình vuông.
ôGiải:
Diện tích hình vuông:
 4 x 4 = 16 (m2)
Diện tích hình tròn: 
 1 x 1 x 3,14 = 3,14 (m2)
Chiều cao mỗi tam giác trong hình vẽ là:
 (4 – 2 ) : 2 = 1 (m)
Diện tích của 4 hình tam giác đó là:
 4 x 1
 X 4 = 8 (m2)
 2
Diện tích toàn phần gạch chéo là:
 16 – ( 8 + 3, 14 ) = 4, 86 (m2)
 Đáp số: 4, 86 (m2)