Toán - Phương trình và bất phương trình có ẩn ở trong dấu giá trị tuyệt đối

PHẦN 1 
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A). PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
	I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT 
1). Dạng có bản
	2). Các dạng khác
	- Ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối trên mỗi khoảng. Giải phương trình trên mỗi khoảng đó. 
 	- Có thể đặt ẩn phụ
II). MỘT SỐ VÍ DỤ
	Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Giải
Vậy x=1; x= 0
Ví dụ2 :Giải phương trình 	
Giải:
+ Lập bảng xét dấu. Từ đó ta có 3 trường hợp:
· Trường hợp 1: ta có:
. 
Hai giá trị này đều không thuộc khoảng đang xét nên trường hợp này phương trình vô nghiệm.
· Trường hợp 2: ta có 
. Ta thấy thỏa mãn.
· Trường hợp 3: x > 2 ta có 
. Ta thấy thỏa mãn.
Tóm lại: Phương trình có hai nghiệm.
	Ví dụ 3: Giải phương trình: 
Giải
Vậy: x= 1; x= 3
	Ví dụ 4: Giải phương trình: (|x|+ 1)2 = 4|x|+ 9
	Giải
(|x|+ 1)2 = 4|x|+ 9
	Đặt t= |x| với 
PT: (t+ 1)2 = 4t + 9
 Với t= 4 thì |x|= 4 
	Vậy x= 4; x= – 4 
	Ví dụ 5: Giải và biện luận |x2 – 2x +m|+x=0
	Giải
|x2 – 2x +m|+x=0
Biện luận
	+ 
	+ m> 0: Vô nghiệm
III) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: 
Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
 	7). 
	8). 
 (PTVN)	9). 
	4). 	10). (x=5)
	6). (x=0; – 1; 1)	 11). 
Bài 2: Giải các phương trình sau	
Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
	|x2 – 2x + m| = x2 + 3x – m – 1 
B). BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
	I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT
	1). Các dạng cơ bản
	2). Các dạng khác
	- Tương tự như đối với phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta khử dấu giá trị tuyệt đối và giải bất phương trình trên từng khoảng.
	- Dùng ẩn phụ
	II). MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau: 
	Giải
Vậy: 2< x< 5
	Vậy 
Ví dụ 2: Giải và biện luận theo a bất phương trình:
Giải: Bất phương trình tương đương với:
· Trường hợp 1:.Vậy nghiệm hệ là
· Trường hợp 2:.Vậy nghiệm hệ là
· Trường hợp 3:.Vậy nghiệm hệ là
III). BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: 
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
Bài 2: Giải các bất phương trình sau
	C). MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC
	I). PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ:
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: có nghiệm.
Giải:Đặt ta có t2-1=x2-2x nên pt (1) trở thành:t2-mt+m2-1=0 (2).
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có ít nhất một nghiệm 
· Trường hợp 1: phương trình (2) có nghiệm t=0.
· Trường hợp 2: phương trình (2) có nghiệm .
· Trường hợp 3: phương trình (2) có nghiệm 
Đáp số:
Ví dụ 2: Cho phương trình :
a) Giải phương trình với m=0.
b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Giải: Đặt t = x – 1, thì phương trình đã cho trở thành 
a) Với m = 0 ta có 
b) Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt..Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi mỗi phương trình t2 – t + m – 1 = 0 và t2 + t + m – 1 = 0 có hai nghiệm không âm phân biệt. Nhưng phương trình t2 + t + m – 1 = 0 không thể có hai nghiệm không âm (vì S= –1<0).
Vậy phương trình đã cho không thể có 4 nghiệm phân biệt.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
II). PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ: Thường sử dụng phương pháp này khi tham số đứng độc lập.
Ví dụ: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :.
Hướng dẫn: Vẽ đồ thị hai hàm số 
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
.
PHẦN 2
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
VÔ TỶ
A). PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
	I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT
	1). Các dạng cơ bản
	2). Các dạng khác
	- Đặt điều kiện cho , nâng cả hai vế lên lũy thừa tương ứng để khử căn thức
	Lưu ý: 
Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hay hệ phương trình đơn giản
II). MỘT SỐ VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
	Giải
Ví dụ 2: Giải các phương trình :
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ:
	Để khử căn thức, ta có thể đưa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ. Tùy theo dạng của phương trình, bất phương trình mà lựa chọn cho thích hợp.
Ví dụ 1: Cho phương trình :.
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
Giải: Đặt nên pt (1) đưa về :X2+4X-m=0 (2)
Với m = -3 thì phương trình (2) trở thành 
+ Nếu
+ Nếu 
Trước hết phương trình (2) có nghiệm . 
Giả sử nghiệm là X0 thì . 
+ Nếu X0 = 0 thì x = – 1
+ Nếu X0 > 0 thì 
+ Nếu X0 < 0 thì 
Vậy với thì phương trình (2) có nghiệm tức là phương trình (1) có nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình .
Hướng dẫn: Đặt .Đưa về phương trình:X2 – 2X – 3 = 0
Ví dụ 3: Giải phương trình .
Hướng dẫn: Đặt .Đáp số: x=1;
Ví dụ 4: Giải bất phương trình .
Hướng dẫn: Đặt . Bất phương trình trở thành 
Trường hợp 1:
Trường hợp 2: .Bất phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 5: Giải phương trình
– 4 = – 2x – 8 (1)
Hướng dẫn: Đặt t = (t0)
(1) trở thành: – 4t = – 
* Tuy nhiên, trong một số trường hợp, sau khi đặt ẩn phụ t, phương trình vẫn còn lại cả ẩn x cũ, khi đó ta sẽ coi x là tham số trong phương trình mới hoặc coi x là ẩn thứ 2 (cùng với t) trong 1 hệ phương trình. Cụ thể:
+ Nếu phương trình mới (ẩn t, tham số x) có biệt thức chính phương ( = , g(x) là một đa thức, thường có bậc 1) thì giải t theo x; nếu phương trình là phương trình đẳng cấp (của x và t) thì đặt x = ty.
Ví dụ 6: Giải phương trình
(4x – 1) = 2 + 2x + 1 (1) 
Hướng dẫn: Đặt t = (t 1)
(1) trở thành (4x – 1)t = 2 + 2x – 1
 = (chính phương)
 t = 
Ví dụ 7: Giải phương trình
2 – 3x + 2 = x (1)
Hướng dẫn: Đặt t = (t 0)
(1) trở thành + xt – 2 = 0.
· Cách 1: = 9 (chính phương) t = 
· Cách 2: phương trình đẳng cấp đặt x = ty:
 + y – 2 = 0 (1 + y – 2) = 0.
Ví dụ 8: Giải phương trình
2(1 – x) = – 2x – 1.
+ Nếu phương trình mới không phải đẳng cấp và cũng không chính phương thì coi t và x là 2 ẩn của 1 hệ phương trình.
Ví dụ 9: Giải phương trình
 + = 5 (1) 
Hướng dẫn: Đặt t = (t 0)
Ta có hệ phương trình 
Trừ hai phương trình của hệ cho nhau được: (t + x)( x – t + 1) = 0.
Ví dụ 10: Giải phương trình
 + 4x = (1)
Hướng dẫn: 
· Nếu đặt t = (t 0) ta được hệ khó khăn
· Ta dự kiến đặt = at + b để đưa về hệ phương trình đối xứng:
Ta có hệ phương trình: 
hệ này đối xứng nếu 
. Như vậy ta đặt t + 2 = (t – 2) 
Khi đó có hệ pt đối xứng: (ĐS 
Ví dụ 11: Giải phương trình
7 + 7x = (x > 0) 
Hướng dẫn: 
Dự đoán đặt = at + b ta tìm được a = 1, b = để có hệ phương trình đối xứng. Như vậy sẽ đặt t + = .
Ví dụ 12: Giải phương trình
 + = (1)
Hướng dẫn: 
Đặt t = = (t > 0)
(1) trở thành: t + = – 3t + = 0.
Ví dụ 13: Giải phương trình
 + + = 5 (1) 
Hướng dẫn: 
Đặt t = + = 
(1) trở thành: t + = 5.
Ví dụ 14: Giải phương trình
 + = 3 + (1)
Hướng dẫn: 
Đặt = t (t 0)
(1) trở thành: t + = 3 + = 3 + – t (dạng 1 căn)
Ví dụ 15: Giải phương trình
 + = 3 + (1)
Hướng dẫn: 
Đặt 
(1) trở thành: u + v = 3 + .
Ta có hệ phương trình 
Ví dụ 16: Giải phương trình
3(2 + ) = 2x + 
Hướng dẫn: 
Đặt 
Ví dụ 3: Giải phương trình
 + 2 + + 4 = 25 (1)
Giải.
Đặt f(x) = VT(1), xét trên [, )
Ta thấy f ’(x) > 0, x > f(x) đồng biến trên [, ) nếu (1) có nghiệm thì nghiệm đó duy nhất. Xét thấy f(5) = 0 x = 5 là nghiệm duy nhất.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
 1) (x=3)
 2) 	 (x=4)	
Bài 1:Tìm điều kiện của m để phương trình 
Có nghiệm thực.
Có 1 nghiệm thực
Có 3 nghiệm thực
Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với:. Dùng đồ thị.
Bài 2: Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm thực.
Hướng dẫn: Đặt . Phương trình trở thành . Lập bảng biến thiên của hàm số y = t2 – 4t, ta có:
IV). BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1:Giải các phương trình 
 x=0
Bài 2: giải các phương trình 
 	1) (x=6)
 2) 
 3) ()
 4) ()
 5) (
 4) ()
Bài 3: Giải các phương trình sau 
 1) (
2) (x=2) 
 3) ()
 4) ()
 5) ()
 6) ()
Bài 4: Giải các phương trình
1) (x + 5)(2 – x) = 3. (x=1;x=-4)
2) + – 4 = – 2. (x=2)
3) + = 7. x=2 ; ()
4) + – = 3. ptvn 
5) (x=1;x=-2)
6) (x=1;x=2)
7) ()
8) ()
9) (x=1;x=5)
10) (x=2;x=0; )
11) (x=2)
12) ()
Bài 5: Giải các phương trình
1) 
	2) 
	3) 
	4) 
 5) () 
 6) (x=5)
	7) (x=1;x=2)
 8) (x=2)
B). BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN
	I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT
	1). Dạng cơ bản
Ví dụ 3: Giải bất phương trình:
Giải: Điều kiện để các căn thức có nghĩa:
· Trường hợp 1: . Ta viết bất phương trình dưới dạng :
Vì nên vế trái dương còn vế phải âm, bất phương trình được nghiệm đúng. Vậy .
· Trường hợp 2:. Ta viết bất phương trình dưới dạng :
Khả năng 1: x = 1 là nghiệm.
Khả năng 2: x < 1 bất phương trình tương đương với .
Vế trái âm, vế phải dương, bất phương trình vô nghiệm.
Vậy nghiệm của bất phương trình là: hoặc x =1
C). BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Bài 1: giải các bất phương trình sau 
 1) ()
 2) ()
 3) ()
 4) ()
 5) 
Bài 3: Giải các bất phương trình
5) – < ()
6) ()
7) ()
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
Bài 4: Giải các bất phương trình sau
1) 	 ()
 2) ()
 3) ()
 4) 
 5) 	
 6) ()
 7) (– 9< x< 4)
Bài 5: Giải và biện luận các bất phương trình sau:
1) x
2) < x – m
3) – > 
III. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
	Phương pháp này dựa vào việc khảo sát một vài tính chất đặc biệt nào đó của hàm số để dẫn đến kết luận nghiệm cho phương trình, bất phương trình đang xét.
Ví dụ : Giải bất phương trình:.
Giải: Xét hàm số , ta thấy ngay hàm số này đồng biến trên tập xác định .Ta có f(0) = 5 do đó :
+ Với x > 0 thì f(x) > f(0) = 5 nên x > 0 là nghiệm.
+ Với nên không là nghiệm.Tóm lại: x>0 là nghiệm.
IV. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
1). MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số và áp dụng để giải phương trình:.
Giải: Áp dụng bất đẳng thức : .ta có:
. Do đó y lớn nhất bằng 2 khi và chỉ khi:
.Mặt khác nên:
Ví dụ 2: Giải phương trình
 + = 4 (1)
Giải.
MXĐ: x > 0
Có = (2) x > 0 (BĐT Côsi)
Vậy (1) dấu “=” ở (2) xảy ra = x = 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình
 + = – 6x + 11. (1)
Giải.
* Cách 1
 ( + )(x – 2 + 4 – x) = 4. (BĐT Bunhiacopxki)
 VT 2.
VP(1) = + 2 2.
Vậy (1) x = 3.
* Cách 2
Đặt 
 (BĐT Côsi)
Þ VT £ 2 với 2 £ x £ 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x – 2 = 4 – x Û x = 3
Mặt khác VP = , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 3
Suy ra phương trình đã cho tương đương với hệ 
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 4: Giải phương trình
 + = + (1)
Giải.
Viết = 
 = 
Vậy (1) x = 2.
Ví dụ 5: Giải phương trình
 (1)
Giải.
Vậy x = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình
V. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP
MỘT SỐ VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
Bằng cách nhân lượng liên hợp bất phương trình tương đương
Để có nghĩa thì . Vì x £ Þ 4x – 3< 0
Do đó (1),(2) . Tập nghiệm 
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
 (1)
Bằng cách nhân lượng liên hợp bất phương trình tương đương
 (2)
Lại thực hiện phép nhân liên hợp
Để có nghĩa thì -2 £ x £ 2. Do 0 nên
Giải (I) 
Giải (II) 
Vậy 
VI. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA:
 Phương pháp này nhằm chuyển một số loại phương trình, bất phương trình vô tỷ về phương trình, bất phương trình lượng giác.
1). MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1:Giải phương trình:
Giải: Điều kiện:. Đặt . Ta có phương trình:
Vì ,ta được:
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:.
Giải: Điều kiện:. Đặt x=cost với . Ta có .
Do nên nên bất phương trình có nghiệm là mọi 
VII. NHIỀU CĂN BẬC LẺ:
* Nâng lũy thừa:
 + = A + B + 3( + ) = C
 A + B + 3 = C (Bước này không tương đương)
3 = C – A – B 27ABC = 
Ví dụ 1. Giải phương trình
 + = . (1)
 Giải:
(1)
Ví dụ 2. Giải phương trình
 + = (1) 
 Giải.
(1) x – 1 + x – 2 + 3( + ) = 2x – 3
 2x – 3 + 3 = 2x – 3
Vậy x= 1; x=2
* Đặt ẩn phụ:
Ví dụ 1. Giải phương trình
 + = 3. (1)
Giải.
Đặt u = 
v = 
Ta có hệ (ĐS x= 9; x= 2)
VIII. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CẢ CĂN BẬC CHẲN, CẢ CĂN BẬC LẺ
 * Cách 1: Làm mất căn lần 1: đặt 1 ẩn phụ.
 Làm mất căn lần 2: nâng lũy thừa.
* Cách 2: Đặt nhiều ẩn phụ.
Các ví dụ:
Ví dụ 1. Giải phương trình
 – = 1 (1)
Hướng dẫn
+Cách 1: Đặt t = (t 0)
(1) trở thành = t + 1 + 7 = + 3 + 3t + 1 
 (t – 1)( + 3t + 6) = 0 (Bạn đọc tự giải) (ĐS x=1)
+Cách 2: Đặt có hệ 
Ví dụ 2. Giải phương trình
 – = 1 (1)
Hướng dẫn
+ Cách 1: Đặt t = , (1) trở thành: = t + 1
+ Cách 2: Đặt có hệ (ĐS