Sáng kiến kinh nghiệm Giải các bài toán điển hình lớp 4 bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng

A. Lời nói đầu
I. Lý do chọn đề tài :
Cùng với Tiếng Việt – Toán học là môn học có vị trí và vai trò vô cùng quan trọng ở bậc tiểu học. Toán học giúp bồi dưỡng tư duy lô gíc, bồi dưỡng và phát sinh phương pháp suy luận, phát triển trí thông minh, tư suy lô gíc sáng tạo, tính chính xác, kiên trì, trung thực. 
 Việc giải toán điển hình bằng phương pháp dùng cơ sở đoạn thẳng là rất quan trọng vì “Sơ đồ đoạn thẳng” là một phương tiện trực quan được sử dụng trong việc dạy, giải toán ngay từ lớp 1 bởi nó đáp ứng được nhu cầu tăng dần mức độ trừu tượng trong việc cung cấp các kiến thức toán học cho học sinh. 
	Phương tiện trực quan thì có nhiều nhưng qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy sơ đồ đoạn thẳng là phương tiện cần thiết, quan trọng và hết sức hữu hiệu trong việc dạy giải toán ( Một kỹ năng cần thiết nhất ) ở bậc tiểu học nói chung và ở các lớp cuối cấp nói riêng. Trong phạm vi đề tài này tôi xin đề cập đến vấn đề “ứng dụng phương pháp giải toán điển hình”. 
II. Thực trạng vấn đề : 
Để giúp học sinh có kỹ năng giải toán nói chung và kỹ năng giải bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng nói riêng. Tôi muốn giúp cho học sinh nắm một số bước cơ bản để Giải các bài toán điển hình lớp 4 bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng. Để các em có những chứng cứ, chỗ dựa mà học tốt môn toán, nhất là môn toán ở lớp 4. Các em hoàn thành tốt chương trình Tiểu học củng như làm nền tảng vững chắc để hoc lên cấp Trung học cơ sở.
1. Thuận lợi :
Dùng sơ đồ đoạn thẳng, bằng hình ảnh trực quan các em nắm được yêu cầu bài toán một cách cụ thể và có hướng giải toán nhanh và chính xác.
Dùng sơ đồ đoạn thẳng, các em dễ dàng giải các dạng toán điển hình ở lớp 4, như : “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ” ; “Tìm hai số khi biết hiệu và tỷ”; “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu”.
2. Khó khăn :
Trong các dạng toán điển hình ở lớp 4, như : “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ” ; “Tìm hai số khi biết hiệu và tỷ”; “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu”. Các em thường gặp khó khăn ở chỗ xác định thành phần trong từng dạng toán, như : Đâu là “tổng”, “hiệu”, “tỷ”.
Khi cần thay cho các số (số đã cho, số phải tìm trong bài toán) để minh hoạ các quan hệ “tổng”, “hiệu”, “tỷ” các em còn gặp nhiều khó khăn.
Qua khảo sát chất lương học sinh giai đoạn đầu năm, trước khi chưa thực hiện đề tài với số liệu thể hiện như sau :
Tổng số học sinh được khảo sát
Môn toán
G
%
K
%
TB
%
Yếu
%
22
0
0
3
13,6
15
68,2
4
18,2
B. Nội dung
CÁC BƯỚC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI MỘT BÀI TOÁN BẰNG “PHƯƠNG PHÁP DÙNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG”
	Bước 1: Tìm hiểu đề bài
	Sau khi phân tích đề toán, suy nghĩ về ý nghĩa bài toán, nội dung bài toán đặc biệt chú ý đến câu hỏi của bài toán. 
	Bước 2: Lập luận để vẽ sơ đồ 
	Sau khi phân tích đề, thiết lập được mối quan hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng cho trong bài toán đó. Muốn làm việc này ta thường dùng sơ đồ đoạn thẳng thay cho các số (số đã cho, số phải tìm trong bài toán) để minh hoạ các quan hệ đó. 
	Khi vẽ sơ đồ phải chọn độ dài các đoạn thẳng và sắp xếp các đoạn thẳng đó một cách thích hợp để có thể dễ dàng thấy được mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng, tạo ra một hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ tìm tòi cách giải một bài toán. 
	Có thể nói đây là một bước quan trọng vì đề toán được làm sáng tỏ: mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán được nêu bật các yếu tố không cần thiết được lược bỏ. 
	Để có thể thực hiện những bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng thì nắm được cách biểu thị các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) các mối quan hệ (quan hệ về hiệu, quan hệ về tỷ số) là hết sức quan trọng. Vì nó làm một công cụ biểu đạt mối quan hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng. “Công cụ” này học sinh đã được trang bị từ những lớp đầu cấp nhưng cần được tiếp tục củng cố, “mài giũa” ở các lớp cuối cấp. 
	Bước 3: Lập kế hoạch giải toán
	Dựa vào sơ đồ suy nghĩ xem từ các số đã cho và điều kiện của bài toán có thể biết gì? có thể làm gì? phép tính đó có thể giúp ta trả lời câu hỏi của bài toán không? trên có sở đó, suy nghĩ để thiết lập trình tự giải bài toán. 
	Bước 4: Giải và kiểm tra các bước giải
	+ Thực hiện các phép tính theo trình tự đã thiết lập để tìm ra đáp số
	+ Mỗi khi thực hiện phép tính cần kiểm tra xem đã đúng chưa? Giải song bài toán phải thử xem đáp số đã tìm được có trả lời đúng câu hỏi của bài toán có phù hợp với các điều kiện của bài toán không. 
	Tóm lại, để học sinh có thể sử dụng thành thạo “phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng” trong việc giải toán thì việc giúp cho các em hiểu rõ ý nghĩa của từng dạng toán sau đó có thể mô hình hoá nội dung từng dạng bằng sơ đồ đoạn thẳng từ đó tìm ra cách giải bài toán là một việc làm hết sức quan trọng. Làm được việc này giáo viên đã đạt được mục tiêu lớn nhất trong giảng dạy đó là việc không chỉ dừng lại ở việc “dạy toán” mà còn hướng dẫn học sinh “học toán sao cho đạt hiệu quả cao nhất”. 
	Để khẳng định cụ thể hơn lợi ích của việc sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để dạy giải toán ở tiểu học tôi xin trình bày một số dạng toán cơ bản mà khi giải có thể sử dụng sơ đồ đoạn thẳng. 
DẠNG 1 : DẠNG TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TRUNG BÌNH CỘNG.
Đối với dạng toán này, học sinh nắm được khái niệm số trung bình cộng. Biết cách tìm số trung bình cộng của nhiều số. Khi giải các bài toán dạng này, thông thường các em thường sử dụng công thức. 
Số trung bình = Tổng : số các số hạng 
Tổng = số trung bình cộng x số các số hạng 
Số các số hạng = tổng : số trung bình cộng 
Áp dụng kiến thức cơ bản đó học sinh được làm quen với rất nhiều dạng toán về trung bình cộng mà có những bài toán nếu không tóm tắt bằng sơ đồ, học sinh sẽ rất khó khăn trong việc suy luận tìm ra cách giải. 
Ví dụ 1 : Lớp 4A trồng 20 cây, Lớp 4B trồng bằng số cây của Lớp 4A . Lớp 4C có số cây trồng ít hơn trung bình cộng số cây trồng của 3 lớp 4A, 4B, 4C là 6 cây. Hỏi Lớp 4C trồng được bao nhiêu cây ? 
Sau khi đọc kỹ đề toán, phân tích mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài, học sinh tóm tắt bài toán bằng sơ đồ : 
+ Trước hết vẽ đoạn thẳng : 
Biểu thị tổng số cây của ba lớp
+ Dựa vào đó học sinh nêu cách vẽ đoạn thẳng thể hiện mức trung bình cộng số cây của 3 lớp (1/3 tổng trên) 
+ Từ đó vẽ đoạn thẳng biểu thị số cây của lớp 4C (ít hơn mức trung bình cộng là 6 cây). 
Tổng số cây
 4A + 4B 4C 
Trung bình cộng 
Số cây của lớp 4C 
Số cây của lớp : 
 4A + 4B 
Sau khi hướng dẫn tìm hiểu đề và tóm tắt bằng sơ đồ, nhiều học sinh đã biết từng bước tìm cách giải. Những em chưa làm được bài, sau khi nghe bạn trình bày cách suy luận của sơ đồ các em đều nắm được và bết tự giải quyết các bài toán dạng tương tự. 
Số cây trồng của lớp 4A và 4B là:
20 + 20 = 40 (cây)
Nhìn vào sơ đồ ta thấy, trung bình cộng số số cây của 3 lớp là :
(40 – 6) : 2 = 17 (cây)
Lớp 4C có số cây trồng là:
17 – 6 = 11 (cây)
Đáp số: 11 cây 
Ví dụ 2: 
	Dùng sơ có thể giúp học sinh hiểu hoặc các em có thể giải thích cách làm dạng toán tìm 2 số khi biết hiệu và trung bình cộng của 2 số đó một cách ngắn gọn. 
	Ta thấy: Hiệu 
	Số lớn: 
 Số bé: 
 TBC: 
Qua sơ đồ ta có thể tìm ra: 
Số lớn = trung bình cộng + (hiệu : 2)
Số bé = Trung bình cộng – (Hiệu : 2)
- Ví dụ một bài toán cụ thể dạng này : 
Trung bình cộng của 2 số tròn chục liên tiếp là 2005. Tìm hai số đó.
Bài giải
Vì hai số tròn chục liên tiếp kém nhau 10 đơn vị nên ta có sơ đồ : 
	 10
	Số lớn: 
Số bé: 
TBC: 
Bài giải:
Số lớn là:
2005 + (10 : 2) = 2010
Số bé là:
2005 – (10 : 2) = 2000
Hoặc 2010 – 10 = 2000
	Đáp số: 	Số lớn 2010 
	Số bé 2000 
Ví dụ 3: 
	Một tổ công nhân đường sắt sửa đường, ngày thứ nhất sửa được 15m đường, ngày thứ 2 sửa được nhiều hơn ngày thứ nhất 1m, ngày thứ 3 sửa được nhiều hơn ngày thứ nhất 2m. Hỏi trung bình mỗi ngày sửa được bao nhiêu mét đường? 
	Ta có sơ đồ: 
	 	15 m
	Ngày thứ nhất: 
	 1m
Ngày thứ hai:	 
 2m 
Ngày thứ ba:
Thông thường ta giải bài toán như sau: 
Bài giải:
Ngày thứ hai sửa được là:
15 + 1 = 16 (m)
Ngày thứ 3 sửa được
15 + 2 = 17 (m)
Trung bình mỗi ngày sửa được
(15 + 16 + 17) : 3 = 16 (m)
	Đáp số: 16 m
Nhận xét: Quan sát kỹ sơ đồ ta thấy nếu chuyển một mét từ ngày thứ 3 sang ngày thứ nhất thì số m đường sửa được trong các ngày đều bằng 16m.
 15m	 1m
	Ngày thứ nhất: 
	 1m
 Ngày thứ hai:	 
 1m 1m
 Ngày thứ ba:
 Ta thấy ngay trung bình mỗi ngày tổ đó sửa được 16m đường. 
Như vậy, sơ đồ giúp ta hình dung rõ khái niệm, đôi khi sơ đồ còn giúp ta tính nhẩm nhanh kết quả. 
DẠNG 2 : DẠNG TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ HIỆU CỦA CHÚNG. 
Bài toán : Tổng hai số là 48, hiệu hai số là 12. Tìm hai số đó? 
	Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ, căn cứ sơ đồ hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải. 
	Sử dụng sơ đồ biểu thị mối quan hệ về hiệu, các em sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ đồ dưới đây. 
 Số lớn : 
	 12	 48
 Số bé : 
Nhìn vào sơ đồ, yêu cầu học sinh nhận xét: 
+ Nếu lấy tổng trừ đi hiệu, kết quả đó có quan hệ như thế nào với số bé? (Giáo viên thao tác che phần hiệu là 12 trên sơ đồ)... từ đó học sinh sẽ dễ dàng nhận thấy phần còn lại là 2 lần số bé. 
Dựa vào suy luận trên, yêu cầu học sinh nêu cách tìm số bé. 
Hơn 80% số em nêu được tìm số bé là:
(48 – 12) : 2 = 18
Tìm được số bé suy ra số lớn là:
18 + 12 = 30
Hay: 48 – 18 = 30
Từ bài toán ta xây dựng được công thức tính: 
Số bé = (tổng – hiệu) : 2 
Số lớn = Số bé + hiệu 
Hay = Tổng – số bé 
Cách giải vừa nêu trên là dễ nhất với học sinh. Tuy nhiên cũng có thể giới thiệu thêm phương pháp sau đây : 
Cũng biểu thị mối quan hệ hiệu nhưng sử dụng sơ đồ :
	Số lớn: 
	 12	 48
 Số bé: 
Suy luận : nếu thêm một đoạn thẳng hiệu (12) vào số bé ta được hai đoạn thẳng bằng nhau tức là hai lần số lớn. 
Từ đó suy ra: 
Số lớn là:
(48 + 12) : 2 = 30
Vậy số bé là: 30 – 12 = 18
Hoặc: 48 – 30 = 18
Sau khi học sinh đã nắm được cách giải ta xây dựng công thức tổng quát : 
Số lớn = (tổng + hiệu) : 2
Số bé = số lớn – hiệu 
Hay = Tổng – số lớn
Như vậy qua sơ đồ đoạn thẳng học sinh nắm được phương pháp giải dạng toán này và có thể áp dụng để giải các bài tập về tìm hai số khi biết tổng và hiệu ở nhiều dạng khác nhau. 
Ví dụ 1: 
Ba lớp A, B, C mua tất cả 120 quyển vở. Tính số vở của mỗi lớp biết rằng nếu lớp 4A chuyển cho lớp 4B 10 quyển và cho lớp 4C 5 quyển thì số v ... c đó. Còn hiệu số tuổi của cha và con hiện nay bằng 3 lần tuổi con hiện nay. Vì hiện nay không thay đổi nên 3 lần tuổi con hiện nay bằng 12 lần tuổi con trước đây. 
Ta vẽ sơ đồ biểu thị tuổi con trước đây và tuổi con hiện nay: 
Tuổi con trước đây: 
	 6 năm 
Tuổi hiện nay: 
Bài toán được đưa ra dạng cơ bản học sinh dễ dàng giải được: 
Giải
Từ sơ đồ suy ra tuổi con trước đây là:
6 : (4 – 1) = 2 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là:
2 + 6 = 8 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là:
4 x 8 = 32 (tuổi)
	Đáp số: 	Cha: 32 tuổi 
	Con: 8 tuổi 
- Qua khảo sát chất lương học sinh sau khi thực hiện đề tài với số liệu thể hiện như sau :
Tổng số học sinh được khảo sát
Môn toán
G
%
K
%
TB
%
Yếu
%
22
5
22,7
10
45,5
7
31,8
0
0
C. KẾT QUẢ
Thực tế giảng dạy ở trường tiểu học tôi nhận thấy việc sử dụng sơ đồ đoạn thẳng trong dạy toán điển hình hết sức cần thiết và có hiệu quả cao. Sau quá trình thực hiện đề tài kết quả bài kiểm tra về giải toán về điển hình cao hơn và kết quả học tập môn toán của học sinh cũng nâng cao rõ rệt. 
I. BÀI HỌC KINH NGHIỆM 
	Để giúp học sinh có được kỹ năng sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán điển hình tôi đã chú ý các bước sau :
- Tìm hiểu đề bài 
- Lập luận để vẽ sơ đồ 
- Lập kế hoạch giải toán 
- Giải và kiểm tra các bước giải 
II. KẾT LUẬN 
	Để việc sử dụng sơ đồ có hiệu quả tôi nhận thấy giáo viên phải nắm được trình độ học sinh của mình để lựa chọn phương pháp và hình thức tổ chức cho phù hợp tạo ra không khí vui vẻ, sôi nổi. Học sinh, tìm tòi phát hiện kiến thức, giáo viên chỉ đạo. 
Khi dạy mỗi bài, mỗi dạng cần giúp em nắm vững bản chất, xác lập mối quan hệ giữa các dữ kiện, không bỏ sót dữ kiện để có kỹ năng giải thạo. 
	Việc vận dụng một cách khéo léo phương pháp trực quan bằng sơ đồ đoạn thẳng là việc dạy học toán không chỉ đem lại cho học sinh những tri thức mới, những kỹ năng cơ bản cần thiết của việc giải toán mà nó còn góp phần hình thành phương pháp học tập, phương pháp phát hiện và giải quyết các vấn đề trong học tập và cuộc sống. 
	Trên đây là một số ý kiến, kinh nghiệm trong việc giảng dạy của tôi. ếât mong được sự góp ý của các cấp lãnh đạo, của các bạn đồng nghiệp giúp tôi tiếp tục nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ. 
Phong Đông, ngày 25 tháng 5 năm 2011
	Người viết
 Đào Xuân Anh
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách Toán 4 (Sách giáo khoa).
2. Sách Giáo viên - Toán 4.
PHẦN NHẬN XÉT CỦA BAN THI ĐUA
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
PHẦN NHẬN XÉT CỦA BAN THI ĐUA
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................